在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是雙曲正弦函数
sinh
{\displaystyle \sinh }
和雙曲餘弦函数
cosh
{\displaystyle \cosh }
，从它们可以导出双曲正切函数
tanh
{\displaystyle \tanh }
等，其推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数。
射線出原點交單位雙曲線
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}
於點
(
cosh
a
,
sinh
a
)
{\displaystyle (\cosh a,\sinh a)}
，這裡的
a
{\displaystyle a}
是射線、雙曲線和x軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點，這個面積被認為是負值
雙曲函數示意圖
由于技术原因，此旧版图表已停用，並須迁移至新版图表。造成您的不便，我們深表歉意。
幾個雙曲函數的圖形。
双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做双曲角。双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如說定义悬链线和拉普拉斯方程。
目录
1 基本定义
2 歷史
3 虛數圓角定義
4 與三角函數的類比
5 恆等式
6 双曲函数的導數
7 双曲函数的泰勒展開式
8 無限積與連續分數形式
9 双曲函数的积分
10 與指數函數的關係
11 複數的雙曲函數
12 反双曲函数
13 参考文献
14 参见
基本定义
编辑
sinh、cosh和tanh
csch、sech和coth
最簡單的幾種雙曲函數為[1]：
雙曲正弦：
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
雙曲餘弦：
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
雙曲正切：
tanh
x
=
sinh
x
cosh
x
=
e
x
−
e
−
x
e
x
+
e
−
x
=
e
2
x
−
1
e
2
x
+
1
.
{\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}.}
雙曲餘切：當
x
≠
0
{\displaystyle x\neq 0}
coth
x
=
cosh
x
sinh
x
=
e
x
+
e
−
x
e
x
−
e
−
x
=
e
2
x
+
1
e
2
x
−
1
.
{\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}.}
雙曲正割：
sech
x
=
1
cosh
x
=
2
e
x
+
e
−
x
=
2
e
x
e
2
x
+
1
.
{\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}.}
雙曲餘割：當
x
≠
0
{\displaystyle x\neq 0}
csch
x
=
1
sinh
x
=
2
e
x
−
e
−
x
=
2
e
x
e
2
x
−
1
.
{\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}.}
函数
cosh
x
{\displaystyle \cosh x}
是关于y轴对称的偶函数。函数
sinh
x
{\displaystyle \sinh x}
是奇函数。
如同当
t
{\displaystyle t}
遍历实数集
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
时，点（
cos
t
{\displaystyle \cos t}
,
sin
t
{\displaystyle \sin t}
）的轨迹是一个圆
x
2
+
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
一样，当
t
{\displaystyle t}
遍历实数集
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
时，点（
cosh
t
{\displaystyle \cosh t}
,
sinh
t
{\displaystyle \sinh t}
）的轨迹是單位雙曲線
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}
的右半边。这是因为有以下的恒等式：
cosh
2
t
−
sinh
2
t
=
1
{\displaystyle \cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1}
参数t不是圆角而是双曲角，它表示在x轴和连接原点和双曲线上的点（
cosh
t
{\displaystyle \cosh t}
,
sinh
t
{\displaystyle \sinh t}
）的直线之间的面积的两倍。
歷史
编辑
在直角雙曲線（方程
y
=
1
x
{\displaystyle y={1 \over x}}
）下，雙曲線三角形（黃色），和對應於雙曲角u的雙曲線扇形（紅色）。這個三角形的邊分別是雙曲函數中
cosh
{\displaystyle \cosh }
和
sinh
{\displaystyle \sinh }
的
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
倍。
在18世紀，約翰·海因里希·蘭伯特引入雙曲函數[2]，並計算了雙曲幾何中雙曲三角形的面積[3]。自然對數函數是在直角雙曲線
x
y
=
1
{\displaystyle xy=1}
下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線
y
=
x
{\displaystyle y=x}
上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數指數函數，即要形成指定雙曲角
u
{\displaystyle u}
，在漸近線即x或y軸上需要有的
x
{\displaystyle x}
或
y
{\displaystyle y}
的值。顯見這裡的底邊是
(
e
u
+
e
−
u
)
2
2
{\displaystyle \left(e^{u}+e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}}
，垂線是
(
e
u
−
e
−
u
)
2
2
{\displaystyle \left(e^{u}-e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}}
。
通過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有：
cosh
u
=
e
u
+
e
−
u
2
{\displaystyle \cosh u={\frac {e^{u}+e^{-u}}{2}}}
sinh
u
=
e
u
−
e
−
u
2
{\displaystyle \sinh u={\frac {e^{u}-e^{-u}}{2}}}
單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線
x
y
=
1
{\displaystyle xy=1}
下雙曲角的
1
2
{\displaystyle {1 \over 2}}
。
虛數圓角定義
编辑
雙曲角經常定義得如同虛數圓角。實際上，如果
x
{\displaystyle x}
是實數而
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
，則
cos
(
i
x
)
=
cosh
(
x
)
,
{\displaystyle \cos(ix)=\cosh(x),\quad }
−
i
sin
(
i
x
)
=
sinh
(
x
)
.
{\displaystyle -i\sin(ix)=\sinh(x).}
所以雙曲函數
cosh
{\displaystyle \cosh }
和
sinh
{\displaystyle \sinh }
可以通過圓函數來定義。這些恆等式不是從圓或旋轉得來的，它們應當以無窮級數的方式來理解。特別是，可以將指數函數表達為由偶次項和奇次項組成，前者形成
cosh
{\displaystyle \cosh }
函數，後者形成了
sinh
{\displaystyle \sinh }
函數。
cos
{\displaystyle \cos }
函數的無窮級數可從
cosh
{\displaystyle \cosh }
得出，通過把它變為交錯級數，而
sin
{\displaystyle \sin }
函數可來自將
sinh
{\displaystyle \sinh }
變為交錯級數。上面的恆等式使用虛數
i
{\displaystyle i}
，從三角函數的級數的項中去掉交錯因子
(
−
1
)
n
{\displaystyle (-1)^{n}}
，來恢復為指數函數的那兩部份級數。
e
x
=
cosh
x
+
sinh
x
{\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x\!}
cosh
x
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
(
2
n
)
!
sinh
x
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
cos
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
sin
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}\cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&\sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}&\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\end{array}}}
雙曲函數可以通過虛數圓角定義為：
雙曲正弦：[1]
sinh
x
=
−
i
sin
(
i
x
)
{\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix)\!}
雙曲餘弦：[1]
cosh
x
=
cos
(
i
x
)
{\displaystyle \cosh x=\cos(ix)\!}
雙曲正切：
tanh
x
=
−
i
tan
(
i
x
)
{\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix)\!}
雙曲餘切：
coth
x
=
i
cot
(
i
x
)
{\displaystyle \coth x=i\cot(ix)\!}
雙曲正割：
sech
x
=
sec
(
i
x
)
{\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix)\!}
雙曲餘割：
csch
x
=
i
csc
(
i
x
)
{\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix)\!}
這些複數形式的定義得出自歐拉公式。
與三角函數的類比
编辑
奧古斯都·德·摩根在其1849年出版的教科書《Trigonometry and Double Algebra》中將圓三角學擴展到了雙曲線[4]。威廉·金頓·克利福德在1878年使用雙曲角來參數化單位雙曲線。
給定相同的角α，在雙曲線上計算雙曲角的量值（雙曲扇形面積除以半徑）得到雙曲函數，角
α
{\displaystyle \alpha }
得到三角函數。在單位圓和單位雙曲線上，双曲函数与三角函数有如下的关係:
正弦同樣是從x軸到曲線的半弦。
餘弦同樣是從y軸到曲線的半弦（圖中的餘弦是長方形的另一條邊）。
正切同樣是過x軸上單位點（1,0）在曲線上的切線到終邊的長度。
餘切同樣是從y軸與過終邊和曲線交點的切線與y軸的交點和曲線連線之長度。
正割同樣是在一個有正切和單位長的直角三角形上，但邊不一樣。
餘割同樣是y軸與過終邊和曲線交點的切線與y軸的交點和原點之距離。
角的量值可以從0到無限大，但
α
{\displaystyle \alpha }
實際上只會介於
0
{\displaystyle 0}
到
2
π
{\displaystyle 2\pi }
（360度）之間，其餘是
α
{\displaystyle \alpha }
的同界角，再繞著圓旋轉，故三角函數可以有周期。雙曲角的量值可以從
0
{\displaystyle 0}
到無限大，但
α
{\displaystyle \alpha }
實際上不會超過
π
4
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}
（45度），故無法如三角函數一樣有周期性。
恆等式
编辑
主条目：雙曲函數恆等式
与双曲函数有关的恆等式如下:
cosh
2
x
−
sinh
2
x
=
1
1
−
tanh
2
x
=
sech
2
x
coth
2
x
−
1
=
csch
2
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1\\1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x\\\operatorname {coth} ^{2}x-1=\operatorname {csch} ^{2}x\\\end{aligned}}}
加法公式：
sinh
(
x
+
y
)
=
sinh
x
cosh
y
+
cosh
x
sinh
y
{\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y}
cosh
(
x
+
y
)
=
cosh
x
cosh
y
+
sinh
x
sinh
y
{\displaystyle \cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y}
tanh
(
x
+
y
)
=
tanh
x
+
tanh
y
1
+
tanh
x
tanh
y
{\displaystyle \tanh(x+y)={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}}
二倍角公式：
sinh
2
x
=
2
sinh
x
cosh
x
{\displaystyle \sinh 2x\ =2\sinh x\cosh x}
cosh
2
x
=
cosh
2
x
+
sinh
2
x
=
2
cosh
2
x
−
1
=
2
sinh
2
x
+
1
{\displaystyle \cosh 2x\ =\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=2\cosh ^{2}x-1=2\sinh ^{2}x+1}
tanh
2
x
=
2
tanh
x
1
+
tanh
2
x
{\displaystyle \tanh 2x={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}}
和差化積：
sinh
x
+
sinh
y
=
2
sinh
(
x
+
y
2
)
cosh
(
x
−
y
2
)
cosh
x
+
cosh
y
=
2
cosh
(
x
+
y
2
)
cosh
(
x
−
y
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}
半角公式：
sinh
x
2
=
sinh
x
2
(
cosh
x
+
1
)
=
sgn
x
cosh
x
−
1
2
{\displaystyle \sinh {\frac {x}{2}}={\frac {\sinh x}{\sqrt {2(\cosh x+1)}}}=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}}
cosh
x
2
=
cosh
x
+
1
2
{\displaystyle \cosh {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}}
tanh
x
2
=
sinh
x
cosh
x
+
1
=
sgn
x
cosh
x
−
1
cosh
x
+
1
=
e
x
−
1
e
x
+
1
{\displaystyle \tanh {\frac {x}{2}}={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}}
其中 sgn 為符號函數。
若 x ≠ 0，則：
tanh
x
2
=
cosh
x
−
1
sinh
x
=
coth
x
−
csch
x
{\displaystyle \tanh {\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x}
由于雙曲函數和三角函数之间的对应关系，雙曲函數的恆等式和三角函數的恒等式之间也是一一对应的。对于一个已知的三角函数公式，只需要將其中的三角函數轉成相應的雙曲函數，并将含有有兩個
sinh
{\displaystyle \sinh }
的積的项（包括
coth
2
x
,
tanh
2
x
,
csch
2
x
,
sinh
x
sinh
y
{\displaystyle \coth ^{2}x,\tanh ^{2}x,\operatorname {csch} ^{2}x,\sinh x\sinh y}
）轉換正負號，就可得到相應的雙曲函數恆等式[5]。如
三倍角公式：
三角函数的三倍角公式为：
sin
3
x
=
3
sin
x
−
4
sin
3
x
{\displaystyle \sin 3x\ =3\sin x-4\sin ^{3}x}
cos
3
x
=
−
3
cos
x
+
4
cos
3
x
{\displaystyle \cos 3x\ =-3\cos x+4\cos ^{3}x}
而对应的双曲函数三倍角公式则是：
sinh
3
x
=
3
sinh
x
+
4
sinh
3
x
{\displaystyle \sinh 3x\ =3\sinh x+4\sinh ^{3}x}
cosh
3
x
=
−
3
cosh
x
+
4
cosh
3
x
{\displaystyle \cosh 3x\ =-3\cosh x+4\cosh ^{3}x}
差角公式：
sinh
(
x
−
y
)
=
sinh
x
cosh
y
−
cosh
x
sinh
y
cosh
(
x
−
y
)
=
cosh
x
cosh
y
−
sinh
x
sinh
y
tanh
(
x
−
y
)
=
tanh
x
−
tanh
y
1
−
tanh
x
tanh
y
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x-y)&=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\\cosh(x-y)&=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\\tanh(x-y)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}
双曲函数的導數
编辑
d
d
x
sinh
x
=
cosh
x
d
d
x
cosh
x
=
sinh
x
d
d
x
tanh
x
=
1
−
tanh
2
x
=
sech
2
x
=
1
cosh
2
x
d
d
x
coth
x
=
1
−
coth
2
x
=
−
csch
2
x
=
−
1
sinh
2
x
x
≠
0
d
d
x
sech
x
=
−
tanh
x
sech
x
d
d
x
csch
x
=
−
coth
x
csch
x
x
≠
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {d}{dx}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x&&x\neq 0\end{aligned}}}
双曲函数的泰勒展開式
编辑
雙曲函數也可以以泰勒級數展開:
sinh
x
=
x
+
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+
x
7
7
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
{\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
cosh
x
=
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
x
6
6
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
(
2
n
)
!
{\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}
tanh
x
=
x
−
x
3
3
+
2
x
5
15
−
17
x
7
315
+
⋯
=
∑
n
=
1
∞
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
coth
x
=
1
x
+
x
3
−
x
3
45
+
2
x
5
945
+
⋯
=
1
x
+
∑
n
=
1
∞
2
2
n
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
0
<
|
x
|
<
π
{\displaystyle \coth x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi }
（罗朗级数）
sech
x
=
1
−
x
2
2
+
5
x
4
24
−
61
x
6
720
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
E
2
n
x
2
n
(
2
n
)
!
,
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
csch
x
=
1
x
−
x
6
+
7
x
3
360
−
31
x
5
15120
+
⋯
=
1
x
+
∑
n
=
1
∞
2
(
1
−
2
2
n
−
1
)
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
0
<
|
x
|
<
π
{\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi }
（罗朗级数）
其中
B
n
{\displaystyle B_{n}}
是第
n
{\displaystyle n}
項伯努利數
E
n
{\displaystyle E_{n}}
是第
n
{\displaystyle n}
項欧拉數
無限積與連續分數形式
编辑
下列的擴展在整個複數平面上成立：
sinh
x
=
x
∏
n
=
1
∞
(
1
+
x
2
n
2
π
2
)
=
x
1
−
x
2
2
⋅
3
+
x
2
−
2
⋅
3
x
2
4
⋅
5
+
x
2
−
4
⋅
5
x
2
6
⋅
7
+
x
2
−
⋱
{\displaystyle \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3+x^{2}-{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5+x^{2}-{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7+x^{2}-\ddots }}}}}}}}}
cosh
x
=
∏
n
=
1
∞
(
1
+
x
2
(
n
−
1
/
2
)
2
π
2
)
=
1
1
−
x
2
1
⋅
2
+
x
2
−
1
⋅
2
x
2
3
⋅
4
+
x
2
−
3
⋅
4
x
2
5
⋅
6
+
x
2
−
⋱
{\displaystyle \cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2+x^{2}-{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4+x^{2}-{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6+x^{2}-\ddots }}}}}}}}}
tanh
x
=
1
1
x
+
1
3
x
+
1
5
x
+
1
7
x
+
⋱
{\displaystyle \tanh x={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}+\ddots }}}}}}}}}
双曲函数的积分
编辑
∫
sinh
c
x
d
x
=
1
c
cosh
c
x
+
C
{\displaystyle \int \sinh cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\cosh cx+C}
∫
cosh
c
x
d
x
=
1
c
sinh
c
x
+
C
{\displaystyle \int \cosh cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\sinh cx+C}
∫
tanh
c
x
d
x
=
1
c
ln
(
cosh
c
x
)
+
C
{\displaystyle \int \tanh cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\ln(\cosh cx)+C}
∫
coth
c
x
d
x
=
1
c
ln
|
sinh
c
x
|
+
C
{\displaystyle \int \coth cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\ln \left|\sinh cx\right|+C}
∫
sech
c
x
d
x
=
1
c
arctan
(
sinh
c
x
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {sech} cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\arctan(\sinh cx)+C}
∫
csch
c
x
d
x
=
1
c
ln
|
tanh
c
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {csch} cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\ln \left|\tanh {\frac {cx}{2}}\right|+C}
與指數函數的關係
编辑
從雙曲正弦和餘弦的定義，可以得出如下恆等式:
e
x
=
cosh
x
+
sinh
x
{\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x}
和
e
−
x
=
cosh
x
−
sinh
x
{\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x}
複數的雙曲函數
编辑
因為指數函數可以定義為任何複數參數，也可以擴展雙曲函數的定義為複數參數。函數
sinh
z
{\displaystyle \sinh z}
和
cosh
z
{\displaystyle \cosh z}
是全純函數。
指數函數與三角函數的關係由歐拉公式給出：
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
e
−
i
x
=
cos
x
−
i
sin
x
{\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\;\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\;\sin x\end{aligned}}}
所以:
cosh
i
x
=
1
2
(
e
i
x
+
e
−
i
x
)
=
cos
x
sinh
i
x
=
1
2
(
e
i
x
−
e
−
i
x
)
=
i
sin
x
tanh
i
x
=
i
tan
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh ix&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh ix&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\tanh ix&=i\tan x\\\end{aligned}}}
cosh
(
x
+
i
y
)
=
cosh
(
x
)
cos
(
y
)
+
i
sinh
(
x
)
sin
(
y
)
sinh
(
x
+
i
y
)
=
sinh
(
x
)
cos
(
y
)
+
i
cosh
(
x
)
sin
(
y
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\end{aligned}}}
cosh
x
=
cos
i
x
sinh
x
=
−
i
sin
i
x
tanh
x
=
−
i
tan
i
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x&=\cos ix\\\sinh x&=-i\sin ix\\\tanh x&=-i\tan ix\end{aligned}}}
因此，雙曲函數是關於虛部有週期的，週期為
2
π
i
{\displaystyle 2\pi i}
（對雙曲正切和餘切是
π
i
{\displaystyle \pi i}
）。
反双曲函数
编辑
主条目：反双曲函数
反双曲函数是双曲函数的反函数。它们的定义为：
arsinh
(
x
)
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
arcosh
(
x
)
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
;
x
≥
1
artanh
(
x
)
=
1
2
ln
(
1
+
x
1
−
x
)
;
|
x
|
<
1
arcoth
(
x
)
=
1
2
ln
(
x
+
1
x
−
1
)
;
|
x
|
>
1
arsech
(
x
)
=
ln
(
1
x
+
1
−
x
2
x
)
;
0
<
x
≤
1
arcsch
(
x
)
=
ln
(
1
x
+
1
+
x
2
|
x
|
)
;
x
≠
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right);\left|x\right|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right);0 参考文献 编辑 ^ 1.0 1.1 1.2 Weisstein, Eric W. (编). Hyperbolic Functions. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2020-08-29]. （原始内容存档于2022-05-21） （英语）. ^ Eves, Howard, Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, Courier Dover Publications: 59, 2012, ISBN 9780486132204, We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions. ^ Ratcliffe, John, Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics 149, Springer: 99, 2006 [2014-03-27], ISBN 9780387331973, （原始内容存档于2014-01-12）, That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph Theorie der Parallellinien, which was published posthumously in 1786. ^ Augustus De Morgan (1849) Trigonometry and Double Algebra （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Chapter VI: "On the connection of common and hyperbolic trigonometry" ^ G. Osborn, Mnemonic for hyperbolic formulae[失效連結], The Mathematical Gazette, p. 189, volume 2, issue 34, July 1902 参见 编辑 反双曲函数 双曲函数符号 三角函数 古德曼函数